1227: 填数游戏

小 D 特别喜欢玩游戏。这一天，他在玩一款填数游戏。

这个填数游戏的棋盘是一个 n×m的矩形表格。玩家需要在表格的每个格子中填入一个数字（数字 0或者数字 1），填数时需要满足一些限制。下面我们来具体描述这些限制。

为了方便描述，我们先给出一些定义：

• 我们用每个格子的行列坐标来表示一个格子，即 (x,y)，其中，x为行坐标，y 为列坐标。（注意：行列坐标均从 0开始编号）；
• 合法路径 P：一条路径是合法的当且仅当：
  1. 这条路径从矩形表格的左上角的格子 (0,0)出发，到矩形的右下角格子 (n−1,m−1) 结束；
  2. 在这条路径中，每次只能从当前的格子移动到右边与它相邻的格子，或者从当前格子移动到下面与它相邻的格子。

例如：在下面这个矩形中，只有两条路径是合法的，它们分别是 P₁:(0,0)→(0,1)→(1,1), P₂:(0,0)→(1,0)→(1,1)。

对于一条合法的路径 P，我们可以用一个字符串 w(P)来表示，该字符串的长度为 n+m−2，其中只包含字符 R 或者字符 D，第 i个字符记录了路径 P 中第 i步的移动方法，R 表示移动到当前格子右边与它相邻的格子，D 表示移动到当前格子下面与它相邻的格子。例如，上图中对于路径 P₁，有 w(P₁)=“RD"；而对于另一条路径 P₂，有 w(P₂)=“DR"。

同时，将每条合法路径 P 经过的每个格子上填入的数字依次连接后，会得到一个长度为 n+m−1的 01 字符串，记为 s(P)。例如，如果我们在格子 (0,0) 和 (1,0)上填入数字 0，在格子 (0,1) 和 (1,1)上填入数字 1（见上图红色数字）。那么对于路径 P₁，我们可以得到 s(P₁)="011"，对于路径 P₂，有 s(P₂)="001"。

游戏要求小 D 找到一种填数字 0,10,1 的方法，使得对于两条路径 P1,P2如果 w(P1)>w(P2)，那么必须 s(P1)≤s(P2)。我们说字符串 a 比字符串 b 小，当且仅当字符串 a 的字典序小于字符串 b 的字典序，。但是仅仅是找一种方法无法满足小 D 的好奇心，小 D 更想知道这个游戏有多少种玩法，也就是说，有多少种填数字的方法满足游戏的要求？

小 D 能力有限，希望你帮助他解决这个问题，即有多少种填 0,1的方法能满足题目要求。由于答案可能很大，你需要输出答案对 10⁹+7 取模的结果。

2 2

12